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몬스터 대칭군을 찾아서
마크 로난 지음 | 심재관 옮김 | 2008년 10월 9일
브랜드 : 살림Math
쪽수 : 336 쪽
가격 : 12,000 원
책크기 : 148 x 210
ISBN : 978-89-522-1016-6-03410
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2세기 동안 이뤄졌던 수학자들의 지적 모험을 통해
현대 수학의 역사를 생생하게 읽는다!
196,884 차원의 눈송이를 상상할 수 있는가?

사그라지지 않는 혁명의 기운이 도시를 휘감고 있던
1832년 5월 30일 새벽,
파리 외곽에서 울린 한 발의 총성과 함께
이 위대한 탐구의 역사가 시작되었다!

더할 나위 없이 우아하면서 신비로운 아름다움을 가진
광대하고도 복잡한 우주의 구조를 밝힐 열쇠,
몬스터를 찾기 위한 200여년에 걸친 수학자들의 열정과 모험

여전히 현재 진행형인 이 위대한 지적 모험의 역사야말로
현대 수학의 장대한 서사시이다!
서문
프롤로그

1. 테아이테토스와 정이십면체
2. 갈루아 - 한 천재의 죽음
3. 무리수 근
4. 군
5. 소푸스 리
6. 리 군과 물리학
7. 유한으로 옮겨가기
8. 세계대전 이후
9. 우클레에서 온 사람
10. 파이트-톰슨 정리
11. 판도라의 상자
12. 리치 격자
13. 피셔의 몬스터
14. 아틀라스
15. 기괴한 미스터리
16. 구성
17. 문샤인

주
부록 1. 황금비
부록 2. 비트 디자인
부록 3. 리치 격자
부록 4. 26개의 예외적 원자 대칭군
용어 해설
역자 후기
색인
추억의 무협지, 귀월색(鬼月色)
서울대 수리과학부 교수 강석진
(『축구공 위의 수학자』(2002), 『수학의 유혹』(2002), 『아빠와 함께 수학을』(2005), 『수학자 위의 축구공』(2006) 저자)

1980년대 후반 예일대학교 대학원생이던 나는 프렝켈 교수와 보처즈 교수의 연구 성과를 통해 “귀월색(鬼月色, monstrous moonshine)”이란 분야를 처음으로 알게 되었다. 이 무협지처럼 흥미진진한 연구 분야는 몬스터 대칭군을 중심으로 콘웨이, 노턴, 맥케이, 파이트, 톰슨, 피셔, 그리스, 프렝켈, 보처즈 등 무림의 고수들이 총출동하여 ‘달빛예측(moonshine conjecture)’이라는 초절정무공의 신비를 파헤쳐 나가는 이야기이다.
몬스터 대칭군은 ‘유한단순군’을 분류하는 과정에서 그 모습을 드러냈다. 단순군이란 더 이상 나눠지지 않는 군을 말한다. 자연수의 세계에서 소수가 차지하는 위치와 같다. 따라서 유한단순군을 만들어내고 분류하는 작업은 군론에서 가장 중요한 연구 주제 중의 하나였다. 1980년대에 완성된 유한단순군의 분류에 따르면 유한단순군에는 원소의 개수가 소수인 순환군, 5개 이상의 원소에 대한 짝치환군, 리(Lie)타입의 단순군, 그리고 26개의 간헐단순군들이 있다. 이들 26개의 간헐단순군 중에서 가장 큰 것은 원소의 개수가 무려
808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000
개에 달하는데 그 엄청난 크기 때문에 ‘몬스터(monster)’라고 불리게 되었다. 유한단순군을 분류하는 작업이 너무나 방대하고 어려운 일이었기 때문에 그 일을 드디어 완성했다는 것, 그리고 몬스터 같은 엄청난 크기의 예외적인 단순군의 존재를 증명했다는 것 자체가 거의 기적과 같은 일이었다. 그러나 그게 전부가 아니었다.
1978년 맥케이는 몬스터 대칭군의 지표를 살펴보고 깜짝 놀랐다. 처음 두 개를 더해 보고 1+196,883=196,884 라는 사실을 발견했기 때문이다. 무슨 유명한 수학자라는 사람이 덧셈을 제대로 했다는 사실에 감격하느냐고 함부로 말하지 말라. 그가 깜짝 놀랐던 이유는 196,884라는 숫자가 정수론에서 핵심적인 역할을 하는 타원보형함수 의 첫 번째 계수였기 때문이다. 1979년 콘웨이와 노턴은 여기에서 더 나아가 ‘귀월색(monstrous moonshine)’이라는 논문을 발표하고, 몬스터는 ‘달빛표현(moonshine module)’이라는 특별한 표현을 가지며 그 표현으로부터 나오는 무한급수가 바로 종수(genus)가 0인 보형 함수들과 일치한다고 주장하였다. 한 마디로 말해서 유한단순군의 표현론과 정수론의 보형함수론 사이에 신비롭고 밀접한 관계가 있다는 얘기다. 이것이 그 유명한 ‘달빛예측(moonshine conjecture)’이다. 이 예측은 1992년 보처즈가 ‘꼭지점대수(vertex algebra)’와 ‘일반화된 캐츠-무디 대수’를 이용하여 증명하였고, 보처즈는 그 공로로 1998년 필즈상을 받았다.
이 책은 이렇게 흥미진진한 이야기를 다룬 책이다. 멀리 갈루아부터 시작하여 리, 카르탕, 킬링, 번사이드, 보처즈에 이르기까지 ‘뻔데기 수학자’의 기를 팍팍 죽이는 무림의 초절정 고수들이 대거 등장하여 갈루아 이론, 리 이론, 몬스터의 발견, 달빛 예측 등 수많은 무림신공을 눈부시게 발휘한다. 이들 중에는 이인석 교수(서울대)와 나의 스승인 파이트 교수와 프렝켈 교수, 나의 사형인 윌슨 교수, 그리고 한국이 낳은 전설적인 수학자 이임학 선생님(1922~2005)도 포함돼 있다. 이 와중에 나까지 휘말려들어 지금까지 일반화된 캐츠-무디 대수에 대한 연구를 하고 있으니, 이 책은 나에게는 그야말로 추억과 그리움의 책이 아닐 수 없다. 독자들은 이 책을 통하여 새로운 수학적 신비를 파헤쳐 가는 숨 막히는 과정을 체험할 수 있을 것이다.
아아, 그런데....... 여기서 ‘moonshine’이란 - 나의 생각과는 달리 - ‘달빛’ 같은 시적인 뜻이 아니라 ‘허튼 소리’ 또는 ‘바보 같은 생각’이란다. 그러니까 콘웨이와 노턴의 논문은 ‘귀월색’ 같은 무협지성 제목이 아니라 ‘도깨비 같은 또라이 타령’ 쯤으로 해석해야 하는 것이었다. 그만큼 그들의 예측이 스스로 보기에도 터무니없는 소리로 들렸다는 뜻이다. 그렇지만 이게 바로 가장 중요한 포인트이다. 수학의 아름다움이란 이렇게 너무나 달라 보이는 두 개의 우주가 사실은 본질적으로 똑같이 닮았다는 것을 발견하고 증명할 때에 가장 뜨겁게 느낄 수 있는 것이기 때문이다.
“수학사 연구자들은 결투의 이유에 대해서 지금도 논란을 벌이고 있다. 젊은 부인을 두고 명예를 지키기 위해 결투를 했다고 보는 사람도 있고 영광스럽게 죽기 위해 갈루아 스스로 짜놓은 활극이었다고 보는 사람도 있다. 그러나 혁명가로서의 그의 명성은 덧없는 것이었지만 수학자로서의 그는 불멸로 남아 있다. 갈루아 이론과 갈루아 군은 오늘날 수학에서 자주 접하는 주제이다. 스무 살이라는 나이로 그는 불멸의 영광을 얻었다. 어떻게 그런 일이 가능했을까?”

“슈발리에가 마침내 댐을 허물었다. 리 군 전체를 유한군의 경우로 전환하자 다른 이들이 거대한 물줄기를 타고 휩쓸고 내려갔다. 그런 사람들 가운데 한 사람이 자크 티츠라는 벨기에 수학자였고 또 다른 사람이 캘리포니아에 있던 로버트 스타인버그였다. 두 사람은 슈발리에가 만들어놓은 집합 족 안에서 새로운 원자 대칭군 집합족들을 발견해냈고 스타인버그는 자신의 논문에 ‘슈발리에 주제에 대한 변주’라는 제목을 달았다.
한편, 일리노이 대학교 어바나 캠퍼스에서 연구 활동을 하고 있던 미치오 스즈키라는 일본 수학자가 획기적인 것을 발견했다. 스즈키는 특정한 유형의 절단면을 지닌 원자 대칭군에 대해 연구하면서 완전히 새로운 집합족을 찾아냈다. 스즈키의 연구는 슈발리에의 연구와는 별개로 진행되었다. 스즈키 집합족은, 슈발리에가 리 집합족에서 도출해낸 집합족과는 전혀 달라 보였다. 하지만 그들 집합족은 서로 연관되어 있었으며 캐나다 브리티시컬럼비아에 있던 한국 수학자 이임학이 둘 사이의 관련성을 찾아냈다. 이임학은 슈발리에 집합족 가운데서 세 개의 새로운 부집합족을 발견했고 그 가운데 하나가 스즈키 집합족임이 밝혀졌다. 이임학의 연구로 유한개의 원자 대칭군을 제외하고 모든 유한 대칭군을 찾아낸 것이다.
이들 새로운 원자 대칭군 집합족은 때를 기다렸다는 듯이, 그것도 한꺼번에 등장했다. 이런 현상은 수학에서 볼 수 있는 희한한 현상이다. 수학 분야의 이와 같은 현상을 두고 가우스는 다음과 같이 말했다. “수학적 발견에는 마치 봄철 숲 속에 피는 바이올렛처럼 제철이 있다. 사람의 힘으로 그 시기를 앞당기거나 뒤로 미룰 수는 없다.” 이렇게 새로운 집합족을 발견하고 나자 전문가들은 유한 원자 대칭군 집합족이 더 이상 없거나 아니면 찾아내야 할 집합족이 최소한 무한개가 아니라는 추측을 했다. 하지만 왜 그래야 하는지는 명확하지 않았다. 다른 집합족이 있다면 그 집합족들을 찾아내야 한다. 만일 더 이상 없다면 그 사실을 증명해야 한다. 차츰 증명이 그 모습을 드러냈다. 하지만 그 증명은 많은 이들의 논문들이 연이어 나온 후에야 윤곽을 드러냈다. 그 과정에서 더 이상의 집합족은 없지만 예외적 대상물이 존재한다는 사실이 밝혀졌다. 그런 예외적 대상물들을 찾아내고 또 그 대상물들 이외에 더 이상 다른 것들이 존재하지 않음을 증명하는 것이 과제였다. 그 과제 해결 과정에서 마침내 몬스터가 등장했다.”

“1830년경 갈루아의 연구를 시작으로 오랜 과정을 거쳐 몬스터가 모습을 드러냈다. ‘단순’ 치환군이 존재한다는 사실을 발견한 사람은 갈루아였다. 그리고 그 이후로 다수의 원자 대칭군이 발견되었다. 1960년대가 되자 19세기부터 찾아낸 다섯 개의 예외적 단순군과 더불어 대다수의 원자 대칭군이 포함된 목록을 손에 쥐게 되었다. 1963년에 파이트-톰슨 정리가 나오면서 다른 원자 대칭군을 찾아내 분류하는 일이 가능해졌고 그렇게 해서 분류 프로젝트가 생겨났다. 삼 년 뒤에 양코가 새로운 예외적 원자 대칭군을 찾아내자 이를 계기로 다른 예외적 원자 대칭군을 찾아내려는 시도가 봇물을 이루었고 그 이후로 10년 동안 20개가 발견되어 총 26개가 되었다. 두 번째로 큰 예외적 원자 대칭군인 베이비 몬스터를 피셔가 찾아냈고 베이비 몬스터에서 가장 큰 예외적 원자 대칭군인 몬스터가 나왔다.
몬스터의 발견을 낳은 연구 방법은 그 자체로는 매우 훌륭했지만 몬스터에 주목할 만한 특징이 있다는 사실을 전혀 드러내주지 못했다. 나중에 몬스터와 수론 사이에 희한하게 서로 합치되는 수치들이 등장하고 나서야 그 사실을 처음으로 인지하기 시작했고 이를 계기로 끈 이론과의 연관성도 발견하게 되었다. 몬스터와 수론 사이의 문샤인 연관성을 지금은 좀 더 큰 이론적 틀 속에서 파악하고 있지만 물리학과 맺고 있는 수학적 관련성의 의의를 아직은 제대로 이해하지 못하고 있다. 몬스터를 찾아내기는 했지만 아직도 풀리지 않는 수수께끼로 남아 있다. 그 속성들을 속속들이 이해한다면 곧 우주의 기본 구조를 파악하게 될 것이다.”