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풀지않고 읽는수학
세야마 시로 지음 | 신은주 옮김 | 2009년 2월 23일
브랜드 : 살림Math
쪽수 : 264 쪽
가격 : 9,800 원
책크기 : 148*210
ISBN : 978-89-522-1090-6-43410
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『풀지 않고 읽는 수학』은 쉽게 수학 공부를 할 수 있게 도와주는 개념에 대한 자세한 설명서이다. 게다가 지겹게 반복적으로 풀기만 하던 공부법에 벗어나 술술 읽으면서 개념을 이해할 수 있도록 차근차근 설명해준다. 초등학교 과정에서 단순히 배우고 넘어갔던 가장 중요한 수에 대한 개념부터 시작하여 미적분과 기하학의 공리들까지 중~고등 과정에서 핵심적으로 배우는 개념들에 대한 풍부한 설명을 담고 있다. 때로는 보다 심화된 고등 수학의 정리들까지 펼쳐 보이면서 하나의 수학적 개념이 어떻게 다양한 세부 주제들로 발전되는지 알려줌으로써 수학에 대한 보다 깊은 이해와 더불어 어려워만 보이는 고등 수학의 개념들까지도 정복할 수 있게 도와준다.
목/차



책을 시작하며

제1장 수와 계산

수에 대하여

․ 자연수
․ 위치기수법과 0
․ 소수와 분수
․ 아르키메데스의 원리
․ 무리수
․ 실수
․ 허수와 복소수
․ 재미있는 수
․ 소수
․ 쌍둥이 소수
․ 골드바흐의 추측
․ 완전수
․ 초월수

계산에 대하여

․ 덧셈
․ 반대의 반대는?
․ 곱셈
․ 사칙연산
․ 페아노 공리계

제2장 문자와 방정식

․ 문자의 사용
․ 방정식
․ 일차방정식
․ 이차방정식
․ 방정식을 푼다는 것의 의미 1
․ 대칭식과 교대식
․ 고차 방정식
․ 삼차방정식과 카르다노―타르타글리아의 공식
․ 또 하나의 시점
․ 사차방정식의 페라리 해법
․ 방정식을 푼다는 것의 의미 2
․ 대수학 기본정리의 증명 스케치

제3장 변화의 법칙과 함수

․ 변화의 법칙
․ 일차함수
․ 이차함수와 다항함수
․ 지수함수
․ 로그 함수
․ 삼각함수
․ 라디안
․ 삼각비와 삼각함수의 관계
․ 역삼각함수
․ 초등함수

제4장 미분과 적분

․ 극한
․ 미분
․ 도함수의 계산
․ 테일러 급수―함수를 다항식으로 표현하다
․ 초등함수의 급수
․ 적분과 미분의 관계
․ 적분
․ 원시함수

제5장 도형과 기하학

․ 증명
․ 『원론』의 공리
․ 평행선의 공리
․ 비유클리드기하학의 발견
․ 정다각형과 작도
․ 작도가 가능하다는 것의 의미
․ 원주를 n등분하는 방정식
․ 정다면체와 오일러의 공식
․ 정다면체의 오일러 공식
․ 다각형 내각의 합과 외각의 합
․ 불변량

책을 끝내며
수학용어 색인
내/용/소/개



읽을 수 있는 신개념 수학 교과서

수학 개념을 이해하면 수학 공부가 쉬워진다!



■ 수학은 공식 잘 외워서, 문제만 잘 풀면 되는 거 아닌가요?!

“수학은 공식 잘 외워서, 잘 풀면 되는 거 아닌가요?”라는 생각은 대한민국의 현실에서 비현실적인 얘기가 아니다. 맞는 말이다. 하지만 열심히 공식 외워서 문제를 푸는 방식의 학습법은 한계가 있다. 일단 재미가 없다. 또 내가 외우고 있는 공식이 도대체 왜 필요한 것인지, 무슨 의미인지 모르고 무작정 외우기 때문에 실력으로 쌓이지도 않는다. 시험 전날 밤 벼락치기 하고 시험 보고 학교 문을 나오면 잊어버리게 되고, 다시 다음 시험 때는 다시 공부해야 한다.

수학은 공식과 정리로 이루어져 있는 것이 아니라 엄밀한 개념과 원리들로 이루어져 있다. 즉 개념과 원리가 주춧돌이 되어 하나하나의 공식과 정리로 표현되고 있는 것이다. 따라서 개념과 원리를 이해하지 못하면 주춧돌이 제대로 세워져 있지 않기 때문에, 모래성을 쌓는 것과 같다. 물론 모래성을 쌓는 동안은 즐거울지 몰라도.

수학은 암기 과목이 아니다. 물론 그 어떤 과목도 단순한 암기 과목은 아니다. 모든 학문은 기본이 되는 개념과 원리에 대한 철저한 이해를 필요로 한다. 그러한 이해가 바탕이 되었을 때에만 공식과 정리에 대한 암기가 빛을 발한다. 다른 여타 과목 모두 바로 이 ‘이해->암기’가 기본 학습법이 된다. 암기 없는 이해나 이해 없는 암기 모두 수험생에겐 위험하다.


■ 수학 공부, 어렵게 하지 마라!

공식과 정리의 밑바탕을 이루는 개념에 대한 이해 없이 무조건 공식을 외워서 문제에 대입하려고 하면 어떻게 대입해야 하는지도 막막할 때가 많다. 이러한 공부법은 쉬운 길을 두고 부러 어려운 길을 찾아가는 것과 같다. 에베레스트를 정복하는 것도 마찬가지이다. 에베레스트를 정복하기 위해서는 꼭 필요한 것을 챙겨야 한다. 그렇지 않으면 목숨을 잃게 되기 쉽다. 거창하지만 수학 공부도 유사한 것이다. 필요한 것을 잊지 말고 챙기는 것, 그것이 쉽게 가는 방식이다. 쉬운 방식은 매번 같은 공부를 반복하는 능률이 떨어지는 공부보다 한 번에 기초를 확 잡아서 그 위에 차곡차곡 실력을 쌓는 것이 가장 효과적이다.

『풀지 않고 읽는 수학』은 쉽게 수학 공부를 할 수 있게 도와주는 개념에 대한 자세한 설명서이다. 게다가 지겹게 반복적으로 풀기만 하던 공부법에 벗어나 술술 읽으면서 개념을 이해할 수 있도록 차근차근 설명해준다. 초등학교 과정에서 단순히 배우고 넘어갔던 가장 중요한 수에 대한 개념부터 시작하여 미적분과 기하학의 공리들까지 중~고등 과정에서 핵심적으로 배우는 개념들에 대한 풍부한 설명을 담고 있다. 때로는 보다 심화된 고등 수학의 정리들까지 펼쳐 보이면서 하나의 수학적 개념이 어떻게 다양한 세부 주제들로 발전되는지 알려줌으로써 수학에 대한 보다 깊은 이해와 더불어 어려워만 보이는 고등 수학의 개념들까지도 정복할 수 있게 도와준다.

■ 딱 3번만 통독하라! 수학의 모든 개념이 정리된다!

항상 열심히 수학 공부를 하지만 성적이 원하는 대로 나오지 않는 경우, 수학이 재미없고 지겨워 포기하고 싶은 경우, 반복적인 문제 풀이 방식의 공부법에 한계를 느낀다고 생각하는 경우, 열심히 문제를 풀어 보지만 막상은 문제를 잘 이해하기 힘든 경우, 혹은 수학이라는 학문이 어떤 것인지를 알고 싶어 하는 경우에 이 『풀지 않고 읽는 수학』을 펼쳐서 한 번, 두 번, 세 번 그렇게 세 번만 통독해 보라! 어렵기만 했던 수학이 쉬워진다. 어렵고 지겹기만 했던 수학 공부가 재미있어 진다. 세 번만 읽으면 수학의 기본이 되는 개념과 원리가 술술 이해된다.

이 책의 저자가 말하듯, 현대 문명의 기둥을 이루고 있는 것은 수학이다. 고도로 추상화된 학문인 수학과 이렇게 단지 읽으면서 가까워지고 더욱 잘 이해하게 됨으로써 사고력과 논리력 역시 단단하게 키워지게 되고, 현대 문명의 근간 역시 이해하게 된다. 이 『풀지 않고 읽는 수학』은 수학 성적을 올리고 싶은 수험생에서부터 현대 문명에 관심 있는 일반 독자들까지, 수학이라면 바로 고개를 젓는 사람에서부터 수학을 미칠 듯이 좋아하는 마니아까지, 그들 모두의 수학에 대한 고민과 필요에 부합하는 책이 될 것이다.

본/문/보/기

“지금까지 다루지 않았지만 수에는 음수가 있다. 마이너스의 수이다. 사실 마이너스의 수가 사람들에게 인지된 것은 그리 오래전 일이 아니다. 우리는 마이너스 세 개의 사과라든가 마이너스 다섯 명이라는 식의 음수를 실재의 양으로 인지할 수는 없다.

자연수가 사물의 개수를 나타내는 수라고 했을 때, 그다음에 나온 원래부터 없던 것을 나타내는 0이란 수는 쉽게 이해할 수 있었다. 그렇지만 없는 것보다 더 적은 수는 좀처럼 이해하기가 힘들다. 왜냐하면 수가 실재의 양을 나타낸다고 생각하기 때문이다. 실제로 2는 두 개의 사과를 나타냈지만 동시에 두 번째 사람도 나타냈다. 두 번째의 사람을 표현하는 2는 실제로 존재하는 양을 나타내지는 않는다. 좀 더 곰곰이 생각을 해 보면 2는 ‘상태’를 표현하는 수라는 것을 알 수 있다.

결국 사람들은 수가 무엇인가를 기준으로 해서 그것보다 많거나 적은 상태를 나타낸다는 것을 알아차리게 되었다. 이렇게 해서 음수, 마이너스의 수가 발견되었다. 마이너스의 수를 표현할 때 수 앞에 ―를 붙여서 ―3처럼 나타낸다. 얼음이 어는 온도를 기준인 0이라고 한다면 평상시 기온은 21도라고 한다. 하지만 0도보다 낮은 기온일 때는 ―4도라고 표현한다.

이렇게 음수는 매우 편리한 수였다. 이렇게 해서 수가 표현하는 세계는 비약적으로 넓어졌다. 지그까지 취급했던 수는 모두 마이너스를 포함한 수이다. 그만큼 수의 세계가 확대되었다. 이렇게 해서 무한하게 펼쳐지는 일직선상에 수를 표현하는 것이 가능해졌다. 수직선이라는 것은 좌우로 무한히 늘어나는 직선인데 그 위의 한 점을 고정시키고 기준의 0으로 생각한다. 수직선은 보통의 수를 오른쪽으로, 마이너스의 수를 왼쪽으로 놓고 길이로 취한 직선이다. 실제로 마이너스의 길이는 존재하지 않기 때문에 길이를 반대 방향으로 취했다고 생각할 수 있다. 이렇게 수직선이라는 이미지를 사용해서 우리들은 끊어지는 부분이 없이 무한하게 계속되는 수라는 추상적인 개념을 갖는 데 성공했다. 이처럼 수직선상에서 끊임없이 존재하는 수를 실수라고 한다. 양의 실수는 구체적으로 존재하는 양을 나타내는 것이 가능하지만 음의 실수는 양(量)의 상태를 포함한 것을 표현한다고 생각할 수 있다.”

“

《정리》 롤의 정리(Rolle's theorem)

미분할 수 있는 함수에 대해서 f(a)=f(b)=0이라면 f'(c)=0이 되는 c(a<c<b)가 있다.

고등학교에서는 보통 이 정리를 x축에서 출발해서 x축으로 돌아가는 곡선에는 반드시 산의 정상이 있다는 그림을 사용하는 직관적인 증명을 하고 있다. 세밀한 증명은 여기에서는 생략하고 그 대신에 이 정리의 물리적인 내용을 설명하기로 한다.

출발점과 종점에 정차한 열차는 도중에서 가속도가 0이 되는 순간이 있다.

이것이 롤의 정리 내용이다. 이 경우 f(x)는 열차의 속도를 나타내는 함수이고 그 도함수가 가속도이다. 실제도 가속도가 플러스인 상태로 있으면 열차의 속도는 계속 빨라진다. 마지막에 정차하려면 어딘가에서는 가속도가 마이너스가 된다. 그러므로 어딘가에서는 가속도가 0이 되는 순간이 있다.

이것이 롤의 정리의 물리학적인 내용이다. 그렇다면 실제로 가속도가 0이 되는 순간은 언제일까? 유감스럽게도 보통은 그 시간을 지정할 수 없다. 그러나 다음 사실은 알 수 있다. 가속도가 0이 되는 것이 열차가 최고 속도를 낸 순간이라는 것이다. 왜 그럴까? 가속도는 속도의 변화율(속도를 미분한 것)이라는 것을 이해하면 된다.

결국, 최대 속도를 낸 순간에 가속도가 플러스라면 다음 순간에 좀 더 속도를 내게 될 것이다. 그렇지 않고 가속도가 마이너스라면 바로 전에는 속도가 더 빨랐을 것이다. 이것이 가속도가 속도의 변화율이라는 말의 의미이다. 양쪽 다 그 순간이 최대의 속도는 아니다. 따라서 최대 속도를 낸 순간에 가속도는 0이 된다. 실제로 롤의 정리의 수학적인 증명은 f(x)가 최댓값을 가진다는 것을 사용해서 증명하지만 그것은 이러한 물리적인 상황을 배경으로 한다.”

저/자/소/개

세야마 시로 瀬山 士郞

1946년 군마현에서 태어나 도쿄 교육대학교 이학부 수학과를 졸업했다. 1970년부터 군마 대학교에서 교수로 재직해 왔으며 일본 수학교육협회 회원이다. 저서로는 『제로부터 배우는 수학 1, 2, 3 : 산수에서 적분까지』(고댠샤), 『제로부터 배우는 수학 4, 5, 6 : 입문! 선형대수』(고댠샤), 『계산의 비밀 : 사고방식의 연습장』(사에라쇼보) 등이 있다.

옮/긴/이/소/개

신은주

한국외국어 대학교를 일본어과를 졸업한 뒤 저작권 에이전시 ‘임프리마’에서 일본어권 에이전트로 일을 했다. 현재 전문번역가로 활동하고 있으며 번역가 모임인 ‘바른 번역’회원이자 ‘왓북’운영자이다. 옮긴　책으로는『확률은 성공의 답을 알고 있다』(스마트 비즈니스), 『따로 또 같이』(아이세움), 『아버지의 사랑으로 키운 아이는 꿈이 크다』(프리미엄북스), 『마법수학 토크쇼』(살림) 등이 있다.

이 책의 저자는 수학이란 학문이 무엇인지를 친절하게 보여주지만 절대로 복잡한 계산을 잘 하는 방법을 알려주지는 않는다. 개념을 설명함으로써 수학문제를 잘 풀게 하는 토대를 만들어주는 것이다. 저자가 이끄는 대로 이 책을 그냥 읽기만 해도 수학 개념이 술술 이해된다. 이 책의 번역 작업이 새롭게 수학을 이해하는 계기가 되었다. 열심히 해도 성적이 잘 오르지 않아 고민하는 수험생부터 수학이라는 학문에 관심이 있는 일반 독자들까지도 모두 만족할 수 있을 것이다.

감/수/자/소/개

이광연

성균관대학교 수학과를 졸업한 뒤 동대학원에서 박사학위를 받았다. 미국 와이오밍 주립대학교에서 박사후 과정을 마친 후 아이오와 대학교에서 방문교수를 지냈다. 지금은 한서대학교의 수학교수로 있으며 수학이 얼마나 재미있는 학문인지를 알려주는 일에 전념하고 있다. 지은 책으로는 『웃기는 수학이지 뭐야』, 『밥상에 오른 수학』, 『신화 속 수학이야기』, 『수학자들의 전쟁』, 『어린이를 위한 수학의 역사 1~5』, 『이광연의 수학블로그』 등이 있다. 또한 7차 교육과정 중 ․ 고등학교 수학교과서의 저자이기도 하다.