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수학의 탄생
피터 S. 루드만 지음 | 김기응 옮김 | 2009년 1월 5일
브랜드 : 살림Math
쪽수 : 384 쪽
가격 : 14,000 원
책크기 : 152*225
ISBN : 978-89-522-1051-7-03410
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고대 이집트부터 그리스까지 고대인들의 수학적 사고방식의 비밀을 밝힌다!

저 먼 고대 이집트부터 그리스 시대까지 고대인들의 실생활과 문화를 통해 그들이 탄생시키고 사용해 온 수학이란 어떤 것이었는지 깊이 살펴보도록 한다. 유리수의 개념만 가지고 있던 이집트에서는 언제나 기묘하고 복잡한 형태의 단위분수를 사용했다. 이들이 단위분수를 고집한 데에는 어떤 사연이 있었을까? 오늘날까지 이어져 사용되고 있는 ‘시:분:초’의 60진법은 바빌로니아의 설형문자에서 유래한 것이다. 바빌로니아가 60진법을 쓴 이유는? 그들에게 ‘6’이란 어떤 의미를 가지고 있었던 것일까? 천문학을 중시하던 마야인들은 망원경도, 각도나 수의 개념도 없이 어떻게 천체를 측정하기 시작했을까? 또 그들이 20진법을 사용한 이유는? 피타고라스보다 1,000년이나 더 일찍 피타고라스의 수를 이해하고 있었던 민족이 있다면?

기원전 5만년에서 2천년 사이, ‘수학의 탄생과 유년기’부터 엄밀한 증명으로 수학의 성숙기를 불러온 피타고라스의 등장까지 인간의 역사와 문명에 깃든 시대를 초월하는 수학적 사고방식의 비밀을 밝혀본다.
목/차

◈ 머리말

1. 들어가며

1. 수학적 다윈주의
2. 대체라는 개념
3. 수 체계

2. 산수의 탄생

1. 패턴 인식에서 계수법으로의 진화
2. 수렵·채집 문화권에서의 계수법

3. 조약돌 계수법에서 숫자로의 진화

1. 나일 계곡의 농경·목축 문화권과 도시 문명
2. 바빌론 강가의 농경·목축 문화권과 도시 문명
3. 마야의 밀림 속에서

4. 나일 계곡의 수학

1. 이집트 곱셈
2. 이집트 분수
3. 이집트 대수
4. 피라미등신


5. 바빌론 강가의 수학

1. 바빌로니아 곱셈
2. 바빌로니아 분수
3. 플림턴 322의 수수께끼
4. 바빌로니아 대수
5. 바빌로니아식 2의 제곱근 계산법


6. 수학의 성숙：엄밀한 증명

1. 피타고라스
2. 에라토스테네스
3. 히파소스

7. 역사는 되풀이하기 위해 배운다

1. 고대 그리스의 수학 교육과 오늘날의 그릇된 관행

◈ 즐거운 문제 풀이

◈ 참고문헌

◈ 옮긴이 후기

◈ 찾아보기

◈ 그림 목록

◈ 표 목록
내/용/소/개



‘수학의 유년기’라 불리는 고대 이집트부터 그리스까지

고대인들의 수학적 사고방식의 비밀을 밝힌다!



고대 이집트인들은 왜 단위분수를 사용했는가?

바빌로니아의 설형 문자에 오늘날 사용되는 ‘시:분:초’의 형태가 처음 나타난다?

마야인들에게 일 년은 360+5였다.

덧붙여진 5의 의미와 360이라는 숫자가 나오게 된 경위는?



현재까지 사용되는 수학적 관습들은

어떻게 만들어진 것일까?



■ 고대인들은 ‘왜…?’

아직 밝혀지지 않은 ‘수학 유년기’의 역사



예나 지금이나 수학은 인간의 생활에 밀착되어 있다. 알고 보면 수학만큼 우리의 생활과 밀접하고 중요한 관계를 가지는 학문은 없다. 수학은 인류의 문명이 탄생하여 발전해온 무수한 세월동안 우리의 삶과 문화를 보조해온 가장 기본적인 학문 중 하나이다. 수학의 탄생 역사를 찾고 고대인들의 수학적 사고방식에 주목함으로서 우리는 시대를 넘어 이제껏 알려지지 않았던 진짜 역사의 비밀을 탐구할 수 있다. 또 현대인들이 무의식 중에 일상에서 사용하고 있던 수많은 수학적 사고방식들이 실은 5만년의 세월을 넘어 현재까지 지속되고 있다는 사실을 안다면 독자들은 매우 놀랄 것이다.

지적 개념을 아직 갖지 못했고 문자도 발명되지 않았던 아득히 먼 옛날의 고대인들은 단지 본능적으로 자신의 가장 가까운 도구 즉, 신체를 이용해 수세기라는 개념을 만들기 시작했다. 때문에 인간에게 있어 최초의 수세기는 손발가락을 이용한 10진 계수법으로 시작되었으며, 손발가락의 한계를 느끼고 그 이상의 수를 세기 위해 고안한 조약돌 계수법이나 나무 열매 등을 이용한 수세기 역시 10진 계수법의 연장이었다. 10진법은 오늘날 우리들에게 익숙하게 쓰여지는 것과 마찬가지로 고대인들에게 있어서도 참으로 친숙한 수였을 것이다.

하지만 시간이 지남에 따라 2진법, 8진법, 16진법, 20진법 등의 수 체계가 생겨나게 되었으며 급기야 이들은 ‘10’이라는 편리한 수를 버리고 각각 자신들의 부족과 생활에 걸맞는 수들을 찾아 독립적인 방법으로 사용하기 시작했다. 인류의 진화는 우리의 먼 조상들이 수학적으로 사고하기 시작함에 따라 급진전한다. 이들 민족은 각각 어떤 이유로, 서로 통용되지 않는 독자적인 방식의 수학을 선택했던 것일까? 아직 밝혀지지 않은 ‘수학의 유년기’에는 도대체 어떤 일이 일어나고 있었던 것일까?

‘왜?’라는 물음에 대한 대답을 얻기에 앞서 우리는 고대 이집트와 마야, 바빌로니아의 수학을 이해하지 않으면 안 된다.



■ 시간을 초월해 현재까지 전해져 내려오는

고대인들의 수학적 사고방식의 비밀을 추적하라



수학이 처음으로 등장했던 고대 시기에서 수학의 본질을 찾으려 한다면 먼저, 현재 우리에게 친숙해져 있는 학문이라는 개념을 배제한 후 지극히 자연스럽고 일상적인 곳에서부터 탐색을 시작하는 것이 올바른 접근방법일 것이다.

기원전 1만년 경 한 여성은 옷을 만들다가 사이즈를 측정하기 위해 자연스럽게 자신의 손가락 폭을 사용하게 된다. 이후 손가락으로 측정한 결과를 기록하기 위해 무엇인가 새로운 도구를 생각해 내지 않으면 안 되었을 것이며 기록을 위한 도구를 사용하게 된다면 어떤 종류의 계수법을 사용하는 것이 좋을지 고민한 후 가장 효율적인 방법을 고안해 내게 된다. 이로 이 여성은 지금 손 폭과 손가락 폭이라는 ‘복합단위’ 용법을 발명한 것이다. 신체를 이용한 단위사용의 본격화는 기원전 3천년으로 내려와 이집트의 어느 피라미드 축조 현장에서도 만나볼 수 있다. 이집트에서 사용되었던 측정단위인 ‘큐빗’은 팔꿈치에서부터 손가락까지의 길이를 가리키며 1큐빗에 1손 폭을 더한 값을 ‘로열큐빗’이라고 부른다. 로열큐빗이 사용되었다는 증거는 성서에서도 찾아볼 수 있다. 기원전 6세기에 기록된 『구약성서』의 「예제키엘」에서는 다음과 같은 구절을 찾아볼 수 있다.



손에 노끈과 막대기를 들고……한 자하고도 한 손 나비 더 되는 자로 여섯 자가 되는 측량대를 잡고 있었다.



수학에 신체 부위를 이용해온 습관은 여러 측정 장비들이 발달된 오늘날까지도 세계 곳곳에서 널리 쓰이고 있다. 대표적인 예로 영국에서는 아직도 ‘피트(feet)’라는 단위를 애용하고 있다.

초기 시절, 이집트인들은 조약돌을 활용해 덧셈과 뺄셈을 했다. 이러한 방식은 로마로 넘어간 후에도 계속되었는데 로마인들은 이 조약돌을 ‘깔꿀리’라고 불렀고 이 말은 캘큘레이션(calculation, 계산)의 어원이 되게 된다. 현재 우리가 쓰고 있는 ‘카운터(계산을 행하는 탁자)’라는 단어 역시 이 캘큘레이션(깔꿀리)에서 유래된 것이다.

태양신을 받들던 마야인들은 망원경도, 각도 개념도 없었던 그 시절 무려 12년에 걸쳐 달의 주기를 관찰하는 등 천문학에 관해 굉장한 열정과 끈기를 보였다. 드레스덴 사본에 기록되어 있는 [8:2:0], [16:4:0], [1:4:6:0]을 현대식으로 해석하면 584일이라는 답을 얻어낼 수 있는데 이는 금성의 회합주기와 정확히 일치한다. 바빌로니아인들과 마야인들, 이집트인들은 각각 자신들이 사용하는 진법개념에 따라 일 년을 360일로 정의했는데 천문학에 밝았던 마야인들은 한 해가 자신들이 생각한 날 수에 5일을 더한 365일이었다는 사실을 눈치 채고, 불길한 5일을 덧붙여 오늘날 우리에게 알려진 것처럼 365일을 일 년으로 지냈다.

고대 바빌로니아는 서기관들이 나라의 거의 모든 분야를 감시하는 관료주의적 사회였다. 관료체제가 자리 잡기 시작했을 무렵의 바빌로니아는 주변 여러 나라들이 쓰기 편한 10진법을 사용하고 있었음에도 불구하고 여전히 번거로운 60진법 체제를 고집했다. 그들에게 60진법 체제는 이미 모든 문화에 뿌리 깊게 자리 잡고 있었기 때문이다. 60진법을 사용함에 있어 번거로워질 수 있는 곱셈 문제는 어떻게 해결해 냈을까? 독자적인 곱셈표를 사용했거나, 혹은 이집트 곱셈법을 일부 사용했다고 추측해 볼 수 있지 않을까? 한편 그들이 사용했던 60진법의 흔적은 오늘날까지 우리들에게 가장 친숙한 형태로 전해 내려져 오고 있다. 60을 기준으로 움직이는 시간의 흐름 속에서 우리는 매일 시대를 초월해 고대 바빌로니아인들과 수학적 사고방식을 교류하고 있는 것이다.



■ 아직까지 다뤄진 적 없는 새로운 수학의 역사를 들여다본다



고대 그리스 시대에는 수학을 매우 중요한 학문으로 여겼다. 수학은 자신들의 이익을 위해서뿐만 아니라 천문학과 종교 등 여러 분야에 걸쳐 반드시 필요한 학문이었기 때문에 고대인들에게 ‘수’라는 개념은 그들의 신성성과도 관련되어 있었다고 말할 수 있다. 그러나 그렇게 중요하게 여겨지던 수학이 오늘날 학생들이 가장 싫어하는 과목 중 하나로 전락하고 있다. 대개의 학생들이 읽기와 쓰기는 즐겁게 배우면서 수학이라는 학문에 대해 거리감을 느끼게 된 이유는 무엇인가? 계산기와 컴퓨터가 모든 데이터를 정확한 수치로 계산해 주고 있는 오늘날, 수학을 배우는 일은 쓸모없는 시간낭비일 뿐일까? “역사는 되풀이하기 위해 배운다”고 말하는 필자는 과거의 행해졌던 수학이라는 학문의 역사에 비추어 현대 수학의 문제점을 짚어 볼 수 있다고 말한다. 우리가 ‘수학의 탄생’에 대해 주목해야 하는 이유는 현재 우리가 경험하고 있는 모든 일들은 수학으로부터 비롯되었으며, 우리가 안고 있는 문제의 해결책 역시 수학을 주축으로 생각해 볼 수 있기 때문이다.

고대 문명이 살아 숨쉬는 나일 계곡과 바빌론 강가에서, 저 깊은 마야의 밀림 속에서 수학의 탄생과 유년기, 피타고라스의 등장으로 이어지는 성숙기의 문턱까지 이제껏 심도 있게 다뤄본 적 없는 새로운 모습의 수학을 경험할 수 있을 것이다. 각 장마다 상세하게 배치되어 있는 그림과 표는 어렵고 딱딱하게 느껴질 수 있는 고대 수학을 최대한 알기 쉽고 재미있게 이해할 수 있도록 만들었다. 또 책 전반에 걸쳐 이와 관련된 시나 인물, 역사, 유머 등도 등장한다. 고대인들이 사용했던 수의 비밀은 곳곳에 배치된 [즐거운 문제]를 풀며 직접 익히고 체험해 보도록 하자. 수학에 깊은 관심을 가지고 있거나 전공하고 있는 이들은 지금까지 읽어왔던 책들과 한층 다른 수학의 깊은 역사를 경험할 수 있으며, 수학의 본질을 이해하고 싶어 하는 일반인들에게도 즐거운 교양서가 될 것이다.





본/문/보/기



명상적 사고를 했다는 걸 짐작할 수 있는 장례 의식의 증거를 호모 사피엔스가 남기기 시작한 건 10만 년 전부터이다. 약 3만 년 전부터 동굴 벽화가 나타나기 시작하는데, 이것은 명상적 사고와 한 문화권 전체를 포괄하는 신앙 체계가 있었다는 것을 보여 주는 더욱 확고한 증거이다. 하나의 문화권을 포괄하는 신앙 체계가 나타나려면 지적 능력과 원활한 의사소통이 반드시 필요하다. 따라서 인류가 수의 개념을 이해하고 몇몇 수를 가리키는 낱말이 있을 만큼 지적 능력과 발음 능력을 충분히 갖추었음을 보여 주는 최초의 증거이다.



-패턴 인식에서 계수법으로의 진화



마야인들은 360일을 ‘한 해’로 정의하고, 매월 각각 20일씩 18개월로 나누었다. 그러나 마야인들은 한 해가 실제로는 365일이라는 점을 알아냈고, 실제 한 해는 정의한 한 해에 불길한 닷새를 더했다. 불길한 닷새에 태어난 불쌍한 마야인들은 가엾게도 저주받은 운명이었다. 이집트인들과 바빌로니아인들, 마야인들은 모두 한 해를 360일로 정의했는데, 이집트인들은 360=12×30이기 때문에, 바빌로니아인들은 360=6×60이어서, 마야인들은 360=18×20인 까닭에 그렇게 정의했다. 측정 단위를 직관적으로 자연스럽게 정의할 때는 우수리를 깔끔하게 떼어 버린 짝수로서 쓸모 있는 약수가 많은 수를 택하게 마련이라는 점을 보여 주는 또 다른 예이다



-마야의 밀림 속에서



이집트인들에게도 계속 반으로 쪼개는 방식으로 정의한 부피 규격이 있었다. 마른 곡식의 양을 측정하는 부피 단위는 ‘헤캇(hekat)’으로, 대략 1갤런과 같다. 헤캇을 쪼갠 일부분은 ‘호루스의 눈 분수(Horus-eye fractions)’라고 불렀고 특별한 기호로 기록했는데, 보통 분수와는 많이 달랐다. 이집트 신화에 따르면 호루스는 오시리스(Osiris)의 아들이고, 오시리스는 형제인 세트(Seth)의 배신으로 살해당했다. 호루스는 복수를 결심하고 삼촌을 살해했지만 싸우던 중에 눈을 잃었고, 나중에 토트(Thoth)라는 신이 부서진 조각을 다시 모아 그에게 눈을 되돌려주었다. [그림 17]은 호루스의 눈 분수를 나타내는 여러 기호를 실은 것이다. 한편 호루스의 눈 분수는 모두 더해도 63/64이다. 호루스의 눈 분수를 고안한 사람은 비록 신이라 해도 한번 부서진 것을 완벽하게 되돌려놓을 수는 없다는 이야기를 하고 싶었던 것일까?



-이집트 분수