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고등과학원 윤강준 박사의 영재들을 위한 수학수업
윤강준 지음 | 2008년 5월 26일
브랜드 : 살림Math
쪽수 : 192 쪽
가격 : 8,900
책크기 : 152*216
ISBN : 978-89-522-0904-7-43410
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특목고, 수학올림피아드를 목표로 하는 영재들을 위해 쓰여진 수학 학습서이다. 이 책은 수학은 어렵고 특별한 재능을 지닌 사람들만의 것이 아닌 우리의 생활 속에서 근본적으로 사용되는 언어이기 때문에 누구나 즐기 수 있는 분야라는 것을 전하기 위해 쓰여졌다. 또한 저자는 수학이란 스스로가 자신의 호기심을 풀어가는 지적 창작 활동이라는 것을 이해시키려고 노력하였다. 수학의 가장 기본이 되는 것은 자신의 생각을 표현하는 논리적 능력이다. 논리력이란 논리적 전개를 이루어 나가는 힘을 말하는데 주장이나 의견을 논리적으로 전개하기 위해 자신이 말하고자 하는 내용이 무엇인지를 이해하고 그 이해를 몇 가지 형식 위에 적용하는 능력이 필요하다.

이 책은 수학의 형식(언어)인 논리식에 관하여 여러 예를 통해 설명하였다. 뿐만 아니라 새로운 개념들이 등장하게 된 계기와 의미, 그리고 수학 문제의 해결은 그 문제를 정확하게 이해(통찰력)하는 것으로부터 시작한다는 것을, 제시한 사례들을 통해 설명한다. 즉 이 책을 통해서 독자들은 수학에 대해 흥미를 가지고 더 깊게 이해하며, 논리적 사고력을 향상시킬 수 있을 것으로 기대된다.
머리말



Chapter 1 수학의 언어

조건과 주장

논리식

주장의 부정



Chapter 2 피타고라 정리 : 무리수의 발견

피타고라스 정리

피타고라스 정리의 증명들

유리수와 무리수



Chapter 3 옳은 증명



Chapter 4 함수 이야기

함수는 세 가지 요소로 이루어진 군집명사다!

함수의 정의

함수의 일치



Chapter 5 논리적 전개 : 유추의 힘



Chapter 6 ‘많다’의 의미



Chapter 7 문제의 재구성



Chapter 8 수열 이야기

수학은 자연 속에서 규칙을 찾아내려 한다!

수열의 수렴

무한합에 대한 재인식 ― 제논의 패러독스 극복



Chapter 9 피보나치 수열 : 아름다움에 관한 비율



Chapter 10 천재되기 1)



Chapter 11 이론과 현실



Chapter 12 천재되기 2) : 다항식의 이해

무한급수 의 수렴값은?

다항식의 차수와 근의 개수와의 관계

다항식의 근과 계수와의 관계

오일러의 접근 방법



Chapter 13 수학적 귀납법

수학적 귀납법

모든 사람의 머리카락의 색은 한 가지 색 만으로 이루어졌다?
『수학의 정석』을 뛰어넘는,

대한민국 1% 수학 영재를 위한

진정한 High Class 수학 수업





■ 대한민국 수학 영재들이 듣고 감탄한 바로 그 강연을 책으로 만난다!



저자 윤강준 박사가 연구원으로 재직하고 있는 <고등과학원>은 대중들에게는 그다지 잘 알려져 있지 않지만 대한민국 최고의, 기초 과학 연구를 위해 설립된 연구소다. 이 <고등과학원>에서는 기초 과학 육성과 더불어 대중들의 기초 과학에 대한 관심을 넓히기 위해 많은 공개 강연을 진행해 왔다. 저자 역시 <재미있는 수학이야기>, <Great moments in Mathematics> 라는 제목으로, 중고교 영재반 학생들과 서울대를 비롯한 여러 대학의 대학생과 대학원생을 대상으로 강연을 계속해 왔다. 바로 대한민국 상위 1%의 학생들이 듣고 감탄했던, 그 강연을 책으로 옮겼다. 『고등과학원 윤강준 박사의 영재들을 위한 수학 수업』은 대한민국 영재들과 영재를 꿈꾸는 청소년들에게 지금껏 경험하지 못했던 깊이 있는 수업을 선사할 것이다.





■ 특목고, 수학올림피아드를 목표로 하는 영재들을 다시 한 단계 Upgrade 시켜줄 수학 공부의 필독서!



『고등과학원 윤강준 박사의 영재들을 위한 수학 수업』은 진정한 대한민국 상위 1%를 위한 수학 강의다. 저자는 대한민국의 수재라 할 수 있는 청소년들과 대학생, 대학원생들 대부분이 문제의 해답을 찾는 능력은 탁월하지만, 자신의 풀이를 표현한다든지, 정답과는 별도로 그 정답을 찾아내는 과정이 논리적으로 맞는지, 자신이 제시한 답이 왜 해답이 되는지 등을 설명하는 기초적 능력이 약하다는 진단을 내린다. 그리고 그러한 현상이 생기게 된 이유의 바탕에는 주어진 문제나 개념이 무엇을 뜻하는지에 대한 이해의 부족과 자신의 생각을 어떻게 표현해야 할 지 모르는 막연함이 있다고 설명하고 있다. 설령 세상 누구도 풀지 못한 문제의 해답을 자신이 구했다 하더라도 그 해결에 대한 설명을 제시하지 못하면 하나의 추측에 지나지 않고 완전한 해결이라고 인정받지 못한다. 이렇듯 저자는 수학에 대한 이해를 도우면서 동시에 자신의 생각을 설득력 있게 표현하는 능력, 즉 논리적 사고력을 향상시키기 위한 목적으로 이 책을 쓰게 되었다고 말한다.

이 책은, 수학의 언어가 어떻게 구성되며, 어떤 의미를 가지고 있는지를 청소년의 눈높이에 맞추면서도 깊이 있게 설명하는 한편, 수학사에서 의미 있는 논쟁을 만들었던 다양한 증명과 역설들을 해결했던 천재들의 방식을 소개함으로써, 수학에 대한 이해의 지평을 넓히게 하는 동시에 진정한 1%의 영재가 되기 위해 필요한 논리력과 재구성력을 높일 수 있도록 도와준다.

저자가 인용한 속담 ‘No pain, no gain’이라는 말처럼, 노력 없이는 어떠한 결과도 없다. 진정한 영재가 되기 위해 흘려야 할 마지막 한 방울의 땀은, 바로 이 책을 읽고 이해하는 데서 흘려질 것이다.





본/문/보/기



“수학에서 어떤 대상을 연구할 때, 먼저 필요한 개념들을 정의하고 그 정의들을 이용하여 여러 주장들을 전개해 나아갑니다. 올바르고 효과적으로 논리적 전개를 하기 위해서는 개념의 정의가 얼마나 잘 이루어졌는지가 당연히 중요하지요. 개념의 정의는 그 개념을 가장 적절히 표현하고 설명해야 하겠지요. 결국 개념의 정의는 수학의 첫 단계로서 그 개념을 표현하고 설명하는 함축적인 약속입니다. 즉 우리가 일상에서 언어로 소통하기 위해서 우리가 일상생활에 필요한 단어들을 먼저 배우듯이, 수학의 대상들을 이야기하기 위해서는 이야기하고 있는 대상의 정의를 먼저 살피고 이해해야만 합니다.

그런 다음으로 우리는 여러 단어들을 이용하여 하나의 문장을 만들듯이, 정의된 개념들을 이용하여 여러 주장들을 펼쳐 나아갑니다. 그런데 수학에서의 대부분의 주장(명제)은 가정(조건)과 결론으로 이루어져 있으며, 이때 모든 주장이 다 옳은 것은 아니지요. 즉, 주장이 옳고 그른지를 판단해야 합니다.

그런데, 주장이 옳고 그름을 판단(증명)하기에 위해서는 기본적으로 먼저 그 주장을 이해해야 하는데, 여기서 주장을 이해한다는 것은 먼저 주어진 조건이나 가정이 무엇임을 파악하고 그 조건이나 가정 하에서 무엇을 주장하는지를 이해하는 것입니다. 정리하면, 우리가 어떤 주장을 펼치거나, 혹은 우리에게 어떤 주장이 주어졌을 때, 우리는 먼저 주장의 내용이 무엇인지를 이해한 후, 다음으로 그 주장이 옳은지를 판단해야 합니다.



그럼, 주장에서의 가정 또는 조건과 결론을 다음의 몇 가지 예들을 통해 이해해 보겠습니다.



(1) 반지름의 크기가 같은 두 원은 합동이다.

이 주장을 이해하기 위해서는 두 개념 ‘원’과 ‘두 원이 합동이다’의 정의를 먼저 살펴야 합니다. 원의 정의는 한 점(중심)에서 거리(반지름)가 같은 점들의 집합이고 ‘두 원이 합동이다’라는 의미는 두 원의 중심이 같도록 이동시켰을 때, 두 원(집합)은 겹쳐진다, 즉 같은 집합임을 의미합니다. 따라서 이 주장은 중심이 다른 원이라도 반지름만 같으면 두 원은 이동에 의해서 같은 원이 된다는 것을 뜻합니다.



가정: 와 는 반지름이 인 원이다.

결론: 와 는 합동이다.

증명: 반지름이 인 두 개의 원들은 겹쳐짐을 보여야 합니다. 여기서 ‘겹쳐진다’의 정의는 ‘두 원의 중심이 같으면, 두 원은 같은 원이다’를 의미라고 설명했습니다. 따라서 두 원 와 를 중심이 같도록 이동하면, 원 위에 놓여있는 점은 원 위에 있으며, 역으로 원 위에 놓여있는 점은 원 위에 있음을 증명하면 위 주장은 옳은 것이지만 중심이 같을 때, 원 위에 놓여있는 있는데 원 위에 있지 않거나, 역으로 원 위에 놓여있는데 원 위에 있지 않은 점이 하나라도 존재하면 이 주장은 틀린 것입니다.”





저/자/소/개

윤강준 박사 ykj@kias.re.kr

1967년 전남 무안에서 태어나, 전남대학교 수학과를 졸업하고, KAIST에서 ‘해석학’ 전공으로 석사와 박사 학위를 받았다. KAIST 응용수학전공 연구교수(2001~2005)를 거쳐 현재는 고등과학원 연구원으로 재직하고(2005~ ) 있다.

박사는 <재미있는 수학이야기>, <Great moments in Mathematics> 라는 제목으로, 중고교 영재반 학생들과 서울대를 비롯한 여러 대학의 대학생과 대학원생을 대상으로 강연을 계속해 왔다. 그는 강연을 통해 기존의 수학적 사실들이 알려지게 된 계기와 그 의미를 소개하는 동시에 수학이 어려운 문제를 풀기만 하는 따분하고 재미없는 학문이 아니라, 인간의 상상력과 이성(논리적 추론력)을 이용하여 전개해 나가는 지적인 창작활동이라는 이해시키고자 노력하였다. 또한 자연 속에서 찾을 수 있는 다양한 수학의 원리와 여러 역설들을 극복하기 위한 수학자들의 노력, 그리고 어렵게만 보이는 문제를 기발하면서도 누구나 쉽게 이해할 수 있는 방법으로 해결하는 사례 등을 소개하여 수학을 올바르게 이해하는데 도움을 주고자 노력해왔다. 앞으로도 수학에 대한 막연하고도 잘못된 선입관이나 편견을 벗기고, 스스로의 노력 여하에 따라 누구나 수학을 즐길 수 있다는 것을 알려 수학에 대한 관심을 높이고, 동시에 수학에 대한 자신감을 가지는데 도움을 줄 수 있도록 노력을 계속할 예정이다.